molpit
Login:
Password:
remember
PIT00474 Различные типы чисел

Целые, дробные, рациональные, иррациональные, алгебраические и трансцендентные, вещественные и комплексные, клиффордовы и гиперкомплексные ... и нечисловые уже не числа, но значения, например, образов, клеток и функций ... где число? где абстракция?

Как-то на одном из последних семинаров я забыл точное определение алгебраического числа, хотя правильно утверждал, что квадратный корень из 2 - это алгебраическое число, не не трансцендентное. Здесь опять надо иррациональные и трансцендентные числа различать

Точное определение. Любое число, которое можно получить из целых чисел при помощи четырёх действий арифметики (сложения, вычитания, умножения, деления), а также извлечением корня целой степени, является алгебраическим. Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Так, например, согласно теореме Абеля — Руффини существуют многочлены пятой степени с целыми коэффициентами, которые не разрешимы в радикалах. Корни такого многочлена являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней.

Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби m/n, где m — целое число, n — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Трансцендентное число — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же. Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно. Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно.

Peter Belobrov 01 Sep 2019 13:18
© International Open Laboratory for Advanced Science and Technology — MOLPIT, 2009–2019